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São Paulo, domingo, 17 de março de 2002

``Conversas com um Matemático'', que acaba de sair
nos EUA, discute os limites do conhecimento
O belo artístico da ciência
Newton da Costa
especial para a Folha
Conversations with a Mathematician
158 págs. US$ 29.95
de Gregory J. Chaitin. Springer.
Gregory J. Chaitin é um matemático e especialista em computação muito conhecido, que trabalha no Centro de Pesquisas T. J. Watson da IBM (EUA), que faz incursões sistemáticas no campo da filosofia da ciência, sobretudo em filosofia da matemática.

Ele é o criador da teoria da informação algorítmica. Falando por alto, a idéia básica dessa teoria é a de complexidade algorítmica de programas de computador; a complexidade algorítmica, no sentido que aqui nos interessa, mede-se pelo tamanho, por assim dizer, do programa.

Em tal teoria, programa nâo significa tâo-somente programa de computadores físicos, reais, porém todo processo efetivo, simbólico e abstrato de transmissâo de arranjos simbólicos (por exemplo, mensagens). Assim, um sistema formal matemático (usual) constitui um programa abstrato bem como as chamadas máquinas de Turing, as quais são construtos matemáticos. Na verdade, todos os processos computacionais se reduzem, em certo sentido, a semelhantes máquinas.

Algo surpreendente que Chaitin realizou foi evidenciar que há, em matemática, um determinado tipo de incompletude: dado qualquer sistema lógico-matemático padrão, por exemplo a aritmética com seus princípios usuais, existem proposições verdadeiras cujo conteúdo de complexidade é tão grande que ultrapassa a capacidade do sistema de poder demonstrá-las. Desse fato, Chaitin deduz uma nova forma do teorema de incompletude de Gödel. Segundo esse teorema, os formalismos (sistemas matemáticos) comuns, que satisfazem condições sensatas (v.g. não encerrarem contradições), são incompletos, isto é, há proposições verdadeiras, formuláveis em seus simbolismos, que eles não conseguem demonstrar.

Ademais Chaitin comprovou que existe, em matemática, uma certa categoria de ``randomness'' (aleatoriedade), que é intrínseca à própria matemática.

Isso acarreta o fato de que há números reais cujas casas decimais são algoritmicamente aleatórias, frutos do acaso, embora os números estejam perfeitamente definidos.

``Conversations with a Mathematician'' (Conversas com um Matemático) é destinado ao leitor comum, não possuindo praticamente nenhuma formação matemática. Versa sobre temas variados, tais como filosofia da matemática, arte, ciência, vida do matemático e limites da razão. Compõe-se de dez capítulos e de uma lista de obras para leitura complementar. Os capítulos reproduzem conferências ministradas e entrevistas, duas destas para a TV (incluindo uma feita pela TV Globo).

Entre outros tópicos, Chaitin discorre sobre a evolução dos problemas relativos aos fundamentos da matemática no século passado. Evidencia o papel histórico dos paradoxos de Russell, Burali-Forti, Cantor, Berry etc., e o significado do pensamento de Hilbert, este último se constituindo no ponto central de partida para a obtenção do célebre teorema de Gödel e das concepções de Turing sobre computabilidade. No cerne dessas indagações se originaram as pesquisas de Chaitin sobre complexidade algorítmica e seu teorema generalizado de incompletude.

Também se ressaltam os aspectos aleatórios da matemática, em determinada acepção, decorrentes das investigações de Chaitin sobre complexidade de programas, de máquinas e de sistemas formais matemáticos.

Chaitin se refere à vida do matemático e o considera como um tipo de artista. Procura mostrar que, em geral, a criação científica é muito similar à artística. Há, na ciência, especialmente em matemática, uma categoria de beleza que atrai o pesquisador. Pode-se dizer, com Poincaré, que somente as idéias belas se mostram realmente fecundas.

O matemático norte-americano tece longas considerações sobre a biologia e a encara como uma das disciplinas com futuro brilhante. Ele divaga sobre a vida, em sua essência, e parece acreditar que nossa alma se assemelha a um programa que jaz em nosso corpo; este funcionaria como um computador físico que serviria de base ao programa. Todavia, o programa é, em certo sentido, independente do corpo no qual se acha momentaneamente inserido. O programa é basilar para o corpo, embora esta não seja imprescindível para aquele. E o programa possui existência diversa da do corpo: o programa se situa em plano abstrato, enquanto o corpo, no plano físico.

Naturalmente algumas das teses do autor são discutíveis. Por exemplo, para ele, teoremas como o de Gödel pressupõem que há limites para o conhecimento matemático (e, em geral, científico).

No entanto, dado que hoje foram erigidos sistemas matemáticos que não se acham sujeitos aos referidos teoremas, o melhor seria asseverar que os limites não são da própria matemática, mas de certa classe de formalismos matemáticos.

O livro é obra agradável, podendo ser lido, como quer o autor, por toda pessoa interessada em computação, matemática, ciências naturais, humanas e nos limites do conhecimento.


Newton C. A. da Costa é professor no departamento de filosofia da Faculdade de Filosofia, Letras e Ciências Humanas da USP e professor de fundamentos da computação e lógica da Unip (Universidade Paulista). É autor de, entre outros, "O Conhecimento Científico" (Discurso Editorial).